Transformasi

 Transformasi

Transformasi dalam matematika memiliki arti sebagai suatu fungsi yang memetakan kedudukan setiap titik dari posisi awal menjadi posisi baru. 

Transformasi yang akan dibahas di kelas 9 ini berdasarkan buku bse kurikulum 2013 yaitu hanya transformasi titik.

Transformasi terdiri dari empat jenis, yaitu:

1.  Translasi (pergeseran)

2.  Refleksi (pencerminan)

3.  Rotasi (perputaran) 

4.  Dilatasi (perkalian)

1.  Translasi (pergeseran)

adalah jenis transformasi yang memindahkan suatu titik sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak yang sama. 

Jika titik A(x, y) ditranslasikan menurut [a, b] maka akan diperoleh bayangan titik A(x+a, y+b),

Translasi tersebut dapat dirumuskan 

Contoh:

1.  Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik-titik A(2,3), B (8,3) dan C (8,-2). Jika segitiga tersebut ditranslasikan oleh T . Tentukan bayangan segitiga ABC!

jawab:

 ⇒A'(4, 0)

  ⇒B'(10, 0)

   ⇒C'(10, -5)

2.  Koordinat titik B(a, -7), jika ditranslasi oleh   kemudian dilanjutkan dengan translasi  menghasilkan bayangan B'(-4, b). Nilai a dan b adalah ....

Jawab:

B' = B + T        dengan T = 

sehingga diperoleh persamaan

-4 = a + (-1)  ⟶ a = -3

b = -7 + 5  ⟶ b = -2

Jadi, nilai a dan b berturut-turut adalah a = -3 dan b -2

2.  Refleksi (pencerminan)

adalah jenis transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat-sifat pencerminan pada cermin datar. 

Beberapa rumus refleksi

Titik Asal	Pencerminan terhadap	Bayangan
A(x, y)	Sumbu X	A’(x, -y)
A(x, y)	Sumbu Y	A’(-x, y)
A(x, y)	Titik Pusat Koordinat (titik O)	A’(-x, -y)
A(x, y)	Garis Y = X	A’(y, x)
A(x, y)	Garis Y = –X	A’(-y, -x)
A(x, y)	Garis X = h	A’(2h-x, y)
A(x, y)	Garis Y = h	A’(x, 2h-y)

Contoh:

1. Bayangan titik K dengan K(−1,4) jika direfleksikan terhadap garis y=−x adalah….

jawab:

A(x, y) direfleksikan terhadap garis y =-x menghasilkan bayangan A(-y, -x)

atau bisa dituliskan

sehingga 

2.  Titik A(-3, 4) ditranslasikan oleh , kemudian direfleksikan terhadap garis x =  8. Koordinat bayangan titik A adalah ....

jawab:

⇔Bayangan A hasil translasi 

     

⇔ selanjutnya direfleksikan terhadap garis x=8

      

                            A''(16-2,8)

                            A''(14, 8)  

3. Rotasi (perputaran) 

Rotasi atau perputaran adalah perubahan kedudukan objek dengan cara diputar melalui pusat dan sudut tertentu (α). 

Jika arah perputaran searah jarum jam (–α), namun jika arah perputaran berlawanan arah jarum jam (α) 

Besarnya rotasi dalam transformasi geometri sebesar α disepakati untuk arah yang berlawanan dengan arah jalan jarum jam. Jika arah perputaran rotasi suatu benda searah dengan jarum jam, maka sudut yang dibentuk adalah –α.

Beberapa rumus  rotasi

Titik Asal	Sudut Putar (a)	Bayangan
A(x, y)	90°	A’(–y, x)
A(x, y)	–90°	A’(y, –x)
A(x, y)	180°	A’(-x, -y)
A(x, y)	270°	A’(y, –x)
A(x, y)	–270°	A’(–y, x)

Contoh:

1.  Diketahui Koordinat titik P(6, -8) dirotasikan dengan pusat O sejauh 90⁰. Jika bayangan titik P adalah P', koordinat titik P' adalah ....

Jawab:

Jadi koordinat titik P' adalah (8,6)

2.  Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik A(-1, 2), B(-5, 2), dan C(-7, -2). Koordinat bayangan titik-titik tersebut, bila diputar dengan pusat O sejauh 180⁰ searah jarum jam adalah ....

Jawab:

4. Dilatasi (perkalian)

Dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun geometri, tetapi tidak mengubah bentuk bangun geometri itu. 

Bayangan suatu dilatasi ditentukan oleh titik pusat dilatasi dan faktor skalanya (k). 

Nilai k berpengaruh terhadap arah dan perkalian (perbesaran atau perkecilan) hasil bayangannya. pengaruh nilai k dapat digambarkan sebagai berikut:

Dilatasi dengan faktor skala k dan berpusat di 

⇔ titik asal O(0,0) di simbolkan [O,k]

    

⇔ titik sebarang P(a,b) disimbolkan  [P,k].

    

⇔ Luas bayangan bagun hasil dilatasi dipengaruhi besarnya faktor skala (k)

     Luas bayangan = k² ⨯Luas asal

Contoh:

1.  Diketahui jajargenjang OABC dengan O(0,0), A(3,0), dan C(2, 4). Koordinat bayangan titik B oleh dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 2 adalah ....

Jawab:

⇔ OABC = jajargenjang  → koordinat B(5, 4)

⇔ Bayangan titik B(5, 4) didilatasi oleh [O, k] adalah B'(kx, ky)

     Untuk k = 2 → B(5, 4)  → B'(2ⅹ5, 2ⅹ4) 

                                                 B'(10, 8)

⇔ jadi bayangan titik B oleh dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 2 adalah B'(10, 8)

2. Diketahui sebuah segitiga KLM dengan titik sudut K( 2,5), L(2,-3) dan M(8,-3). Jika segitiga tersebut didilatasi -2 dengan pusat A(1,3). Tentukanlah:

a.  Koordinat titik bayangan segitiga KLM

b.  Hitunglah luas bayangan segitiga KLM

Jawab:

2.a Koordinat bayangan segitiga KLM

                               K'(-2(1)+1, -2(2)+3)

                               K'(-1, -1)

                               L'(-2(1)+1, -2(-6)+3)

                               L'(-1, 15)

                               M'(-2(7)+1, -2(-6)+3)

                               M'(-13, 15)

2.b. luas bayangan segitiga KLM

Luas ∆K'L'M' = ½ ⅹ alas bayangan ⅹ tinggibayangan

                      = ½ ⅹ (-1-(-13)) ⅹ (15-(-1))

                      = ½ ⅹ (12) ⅹ (16)

Luas ∆K'L'M'  = 96 cm²

atau bisa gunakan rumus 

Luas bayangan = k² ⨯Luas asal

 Luas ∆K'L'M' = (-2)² ⨯ ½ ⨯ (alas) ⨯ (tinggi) 

                         = (4) ⨯ ½ ⨯ (8-2) ⨯ (5-(-3)) 

                      = 4 ⨯ ½ ⨯ (6) ⨯ (8) 

Luas ∆K'L'M'  = 96  cm²